Funciones Básicas de la Antiderivada o Integral Indefinida

INTRODUCCIÓN

Históricamente la idea de integral se halla unida al cálculo de áreas a través del teorema fundamental del cálculo. Ampliamente puede decirse que la integral contiene información de tipo general mientras que la derivada la contiene de tipo local.

El Concepto operativo de integral se basa en una operación contraria a la derivada a tal razón se debe su nombre de: antiderivada.

¿QUÉ ES LA ANTIDERIVADA?

La antiderivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce la función dada.

Las reglas de la derivación son la base que de cada operación de integral indefinida o antiderivada.

Es importante tener en cuenta que cuando se invierte algo donde intervienen más de una operación, éstas han de invertirse pero en orden opuesto. Por aclarar esto, Cuando tenemos xn, al derivar multiplicamos por el exponente y luego disminuimos éste en una unidad, lo inverso será, primero aumentar el exponente en una unidad y después dividir por el exponente, lo cual es el procedimiento que se toma al resolver una operación de antiderivada, también llamada integral indefinida o primitiva de una función.

La antiderivada o integral de una función. Introducción al antidiferencial o primitivas.

 

  DEFINICION DE INTEGRAL INDEFINIDA

  La integral es una generalización de la suma de infinitos sumados, infinitamente para el 
  calculo

  Este proceso se utiliza principalmente para el cálculo de AREAS Y VOLUMENES de
  regiones solidos de revolución

SIMBOLO DE LA INTEGRAL

El símbolo se basa en el carácter r (s larga), y se escogió debido a que la integral es el límite de una suma.

  APLICACIÓN DE LA INTEGRAL

  Básicamente las integrales se usan cotidianamente en el cálculo de áreas, longitudes de
  curvas y volúmenes de cuerpos de revolución.

  INTEGRAL INDEFINIDA

  En calculo infinitesimal, la función primitiva o antiderivada de una función f es una función
  cuya derivada es F, es decir, F´=f. una condición suficiente para que una función f admita
  primitivas sobre un intervalo es que sea continua en dicho intervalo. 

 Por ejemplo:

 Si f(x) = 3×2, entonces, F(x) = x3, es una antiderivada de f(x). Observe que no existe una
 derivada única para cada función. Por ejemplo, si G(x) = x3+ 5, entonces es otra antiderivada 
 de f(x).

  La antiderivada también se conoce como LA PRIMITIVA o la integral indefinida se expresa 
  de la siguiente manera: 

  En donde: f(x) es el integrando; dx, la variable de integración o diferencial de x y C es la
  constante de integración.

  Notación

  La notación que emplearemos para referirnos a una antiderivada es la siguiente:

 

 TEOREMAS DE LA INTEGRACIÓN

  Teorema 1.
   Si f y g son dos funciones definidas en el intervalo I, tales que para todo entonces existe una
   constante K tal quepara todo"La antiderivación o antidiferenciación es el proceso mediante 
   el cual se determina el conjunto de todas las antiderivadas de una función dada. El símbolo
   denota la operación de antiderivación, y se escribe dondey .

En la igualdadx es la variable de integración,esel integrando y la expresión recibe el nombre
de antiderivada general o integral indefinida de f.

Sies el conjunto de todas las funciones cuyas diferenciales seantambién es el conjunto de todas las funciones cuya derivada es 
Teorema 2.

Teorema 3. 

donde a es una constante.

 Teorema 4. 
  Si las funciones f y g están definidas en el mismo intervalo

  entonces
Teorema 5.

Si las funcionesestán definidas en el mismo intervalo, entonces

dondeson constantes.
Teorema 6. 
Si n es un número racional, entonces 
Teorema 7.
 
Teorema 8.

Teorema 9. 
 
Teorema 10. 
 
Teorema 11. 
 
Teorema 12. 
 
Teorema 13. 
Regla de la cadena para antiderivación.

Sea g una función diferenciable y sea el contradominio de g algún intervalo I. Suponga que f es una función definida en I y que F es una antiderivada de f en I. Entonces 
Teorema 14. 
Si g es una función diferenciable y n es un número racional, entonces 
Teorema 15. 

Teorema 16.

Teorema 17.

Teorema 18.

Teorema 19.

Teorema 20.

Teorema 21.

Teorema 22.
 

El teorema siguiente proporciona algunas fórmulas más generales.
Teorema 23.
 

Teorema 24.
 
 
 
 

MÉTODOS O TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN

 

EJEMPLOS DE INTEGRACIÓN O DERIVACIÓN

Integrales sencillas aplicando reglas básicas de integración. Ejemplos y ejercicios.

COMPROBACION DE INTEGRALES-ANTIDERIVADA 

Ejemplo

Resolver la siguiente integral:  

Solución

• Método a emplear: Integración inmediata de funciones potenciales.  

• Regla de integración:

Ecuación

 

Desarrollo: 

v    Determinar el valor de n. Para ello se debe comparar la integral dada, con la regla de integración. Al realizar dicha comparación, se obtiene que:

n=5.

v    Siguiendo la regla de integración, se debe realizar la siguiente operación:

n+1

v    Como n=5, se tendrá el siguiente resultado:

n+1=5+1=6

v    La regla de integración que se está aplicando, para resolver este ejercicio, indica que éste resultado debe colocarse tanto en el exponente de la antiderivada como en el denominador de la misma. Así se obtiene: 

v    Ahora, si a ésta expresión se le agrega la constante de integración c, se tendrá que:

v    Concluyéndose que:=

v    Verificación: Si se deriva el resultado, ,se obtiene, que constituye la función primitiva u original; poniéndose de manifiesto que la diferenciación y la integración son procesos inversos.

De lo realizado en la verificación, se establece que: Para comprobar si el resultado obtenido al resolver una integral es o no correcto basta con aplicarle el proceso de derivación a dicho resultado. La respuesta se considera correcta si la derivada coincide con el integrando, resultando incorrecta en caso contrario.

 Integral indefinida/comprobación

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